多项式 $\widetilde{\Xi}_n$ 的渐近零分布

我们考虑由~\cite{TallaWaffo2025arxiv2511.02843} 引入并在\cite{TallaWaffo2026arxiv2602.16761}中进一步深入研究的多项式 $\Xi_n$，其以 type~B 欧拉多项式表示，并研究其经尺度变换后的族的零分布，即 $$\widetilde{\Xi}_n(x) := \Xi_n(\sqrt{x}), \qquad n\ge 2.$$ 将 $\widetilde{\Xi}_n$ 在区间 $(0,1)$ 中的零点记为 $0< x_{n,1} \le \cdots \le x_{n,n-1} < 1$，并形成经验测度 $$\mu_n := \frac1{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\delta_{x_{n,k}},$$ 我们证明了 $(\mu_n)_{n\ge2}$ 收敛于支撑于 $(0,1)$ 的确定性概率测度 $\mu$。我们给出该极限密度和极限分布函数的显式公式。该证明基于将 $\Xi_n$ 表示为 type~B 欧拉多项式的表示，推导自经典级数恒等式得到的这些多项式的比值渐近分析，以及 Stieltjes 变换方法。我们还提供了数值实验，说明经验零分布收敛于 $\mu$。