多项式极导数的积分均值估计

设 $P(z)$ 为 $n$ 次多项式，其所有零点位于 $|z|\leq k$，其中 $k\leq 1$，则Dewan等人证明，对于每个满足 $|\alpha|\geq k$ 的实数或复数 $\alpha$ 以及每个 $r\geq 0$，有\n$$n(|\alpha|-k)\left\{\int\limits_{0}^{2\pi}\left|P\left(e^{i\theta}\right)\right|^r d\theta\right\}^{\frac{1}{r}}\leq\left\{\int\limits_{0}^{2\pi}\left|1+ke^{i\theta}\right|^r d\theta\right\}^{\frac{1}{r}}\underset{|z|=1}{Max}|D_\alpha P(z)|.$$\n在本文中，我们将对上述结果进行改进和推广，并将其推广到多项式类 $P(z)=a_nz^n+\sum_{\nu=\mu}^{n}a_{n-\nu}z^{n-\nu}$，$1\leq\mu\leq n$，其所有零点位于 $|z|\leq k$，其中 $k\leq 1$，从而得到上述结果及许多其他已知结果的若干推广。