卡陶正交性准则的一个推广及其应用

我们研究来自乘性数论的算术集合的性质，并在均匀分布理论和遍历理论中获得应用。我们的主要定理是卡陶正交性准则的一个推广。以下是该定理的一个特例：设 $a\colon\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ 为一个有界序列，满足 $$\sum_{n\leq x} a(pn)\overline{a(qn)} = {\rm o}(x),~\text{对所有不同的素数 $p$ 和 $q$。}$$ 那么对于任何乘性函数 $f$ 和任何 $z\in\mathbb{C}$，水平集 $E=\{n\in\mathbb{N}:f(n)=z\}$ 的指示函数满足 $$\sum_{n\leq x} \mathbb{1}_E(n)a(n)={\rm o}(x)。$$ 借助该定理可以证明：如果 $E=\{n_1<n_2<\ldots\}$ 是一个具有正上密度的乘性函数的水平集，那么对于一大类充分光滑的函数 $h\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$，序列 $(h(n_j))_{j\in\mathbb{N}}$ 是模 $1$ 均匀分布的。这类函数 $h(t)$ 包括：所有多项式 $p(t)=a_kt^k+\ldots+a_1t+a_0$，只要系数 $a_1,a_2,\ldots,a_k$ 中至少有一个是无理数；对于任何 $c>0$ 且 $c\notin \mathbb{N}$ 的 $t^c$；对于任何 $r>2$ 的 $\log^r(t)$；$\log(\Gamma(t))$；$t\log(t)$；以及 $\frac{t}{\log t}$。这些均匀分布结果反过来又使我们能够获得遍历序列的新例子，即遍历定理沿之成立的序列。