算术函数的加权平均及其在均匀分布中的应用

对于广泛的函数$W:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, 我们建立了估计形式为\n$$\mathbb{E}^{W}_{n \le N} f(\vartheta(n))= \frac{1}{W(N)}\sum_{n=1}^N (W(n)-W(n-1))f(\vartheta(n)),$$\n其中$f:\{1,\ldots,N\}\to\mathbb{C}$是任意函数, $\vartheta(n)$是满足某种高斯分布条件的算术函数。（特别地, 可以取$\vartheta(n)=\Omega(n)$, $\vartheta(n)=\omega(n)$, 或$\vartheta(n)=\Omega(q_n)$,其中$\Omega(n)$和$\omega(n)$分别计算n的素因数个数(带或不带重数), $q_n$ denotes the第n个无平方数。）作为我们的主要定理的应用, 我们证明如果$h(n)$是来自Hardy域且具有多项式增长的函数, 则$(h(\vartheta(n)))_{n\in\mathbb{N}}$在模1上均匀分布当且仅当满足以下(互斥)条件之一: (i) $\lim_{x\to\infty} \frac{|h(x)-p(x)|}{x \log x}=\infty$对所有$p(x)\in \mathbb{Q}[x]$成立; (ii) $\lim_{x\to\infty}\frac{|h(x)-p(x)|}{\sqrt{x}}=\infty$对每个$p(x)\in \mathbb{Q}[x]$成立, 且存在$q(x)\in \mathbb{Q}[x]$使得$\lim_{x\to\infty}\frac{|h(x)-q(x)|}{x}<\infty$。这导致关于形式为$h(\Omega(n))$, $h(\omega(n))$, 和$h(\Omega(q_n))$序列均匀分布的新应用。例如, 我们证明$(\Omega(n)^c)_{n\in\mathbb{N}}$在模1上均匀分布当且仅当$c$是大于$\frac{1}{2}$的非整数。