关于某些与代数整数共轭积相关的多面体

设 $d>k$ 为正整数。受布古德和 Nguyen 的早期结果的启发，我们定义 $E_{k,d}$ 为集合，即 $(c_1,\ldots,c_k)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^k$ 满足 $|\alpha_0||\alpha_1|^{c_1}\cdots|\alpha_k|^{c_k}\geq 1$ 对任意代数整数 $\alpha$ 均成立，其中我们将其 Galois 共轭标记为 $\alpha_0,\ldots,\alpha_{d-1}$，且 $|\alpha_0|\geq |\alpha_1|\geq\cdots \geq |\alpha_{d-1}|$。首先，我们给出 $E_{k,d}$ 作为具有 $2^k$ 个顶点的多面体的显式描述。随后我们证明，对 $d>3k$，对每个 $(c_1,\ldots,c_k)\in E_{k,d}$ 以及每个非单位根 $\alpha$，严格不等式 $|\alpha_0||\alpha_1|^{c_1}\cdots|\alpha_k|^{c_k}>1$ 都成立。我们还以 $d$ 和 $\alpha$ 的最小多项式高度为参数，给出该不等式的量化版本。