完全图笛卡尔积的连通性

本文研究完全图笛卡尔积的连通性。一个至少有 $2k$ 个顶点的图被称为{\it $k$-连通的}，如果对于任意组织成任意 $k$ 对顶点的 $2k$ 个不同顶点集合，存在 $k$ 条顶点不交的路径连接各对中的顶点。我们证明完全图 $K^{d_{1}+1}$ 和 $K^{d_{2}+1}$ 的笛卡尔积 $K^{d_{1}+1}\times K^{d_{2}+1}$ 对于 $d_{1},d_{2}\ge 2$ 是 $\floor{(d_{1}+d_{2})/2}$-连通的，且这是最优的。%一个多面体被称为{\it $k$-连通的}如果它的图是 $k$-连通的。该结果与简单多面体的图相关。笛卡尔积 $K^{d_{1}+1}\times K^{d_{2}+1}$ 是 $d_{1}$ 维单形 $T(d_{1})$ 与 $d_{2}$ 维单形 $T(d_{2})$ 的笛卡尔积 $T(d_{1})\times T(d_{2})$ 的图。而多面体 $T(d_{1})\times T(d_{2})$ 是一个{\it 简单多面体}，即一个 $(d_{1}+d_{2})$ 维多面体，其中每个顶点恰好关联 $d_{1}+d_{2}$ 条边。尽管并非每个 $d$-多面体都是 $\floor{d/2}$-连通的，但可以猜想每个简单 $d$-多面体都是。我们的结果意味着对于两个单形的笛卡尔积，这一修正猜想成立。