正规循环多面体与非非常丰沛的循环多面体

设$d$和$n$为正整数，满足$n \geq d + 1$，且$\tau_{1}, ..., \tau_{n}$为整数，满足$\tau_{1} < ... < \tau_{n}$。令$C_{d}(\tau_{1}, ..., \tau_{n}) \subset \RR^{d}$表示维度为$d$、具有$n$个顶点$(\tau_{1},\tau_{1}^{2},...,\tau_{1}^{d}), ..., (\tau_{n},\tau_{n}^{2},...,\tau_{n}^{d})$的循环多面体。我们感兴趣的是找到最小整数$\gamma_{d}$，使得若对于$1 \leq i < n$有$\tau_{i+1} - \tau_{i} \geq \gamma_{d}$，则$C_{d}(\tau_{1}, ..., \tau_{n})$是正规的。已知结果之一是$\gamma_{d} \leq d (d + 1)$。本文证明了新的不等式$\gamma_{d} \leq d^{2} - 1$。此外，还证明了若$d \geq 4$且$\tau_{3} - \tau_{2} = 1$，则$C_{d}(\tau_{1}, ..., \tau_{n})$不是非常丰沛的。