用多面体对凸体的节俭逼近
度量几何
2012-07-09 v2 组合数学
泛函分析
摘要
给定一个包含原点在其内部的R^d中的凸体C和一个实数τ>1，我们寻求构造一个包含在C中的多面体P，使其顶点数尽可能少，且满足C⊂τP。我们的构造在广泛的d和τ范围内接近最优。特别地，我们证明如果C=-C，则对于任意1>ε>0和τ=1+ε，可以选择P具有大约ε^{-d/2}个顶点；对于τ=√(εd)，可以选择P具有大约d^{1/ε}个顶点。类似地，我们证明如果R^d中的凸体C满足对于某个μ>1有-C⊂μC，则当(τ-1)/(μ+1)<<1时，可以选择P具有大约((μ+1)/(τ-1))^{d/2}个顶点。
引用
@article{arxiv.1206.3993,
title = {Thrifty approximations of convex bodies by polytopes},
author = {Alexander Barvinok},
journal= {arXiv preprint arXiv:1206.3993},
year = {2012}
}
备注
13 pages, various minor improvements