常宽 π/2 球面凸体的逼近

设 $C\subset \mathbb{S}^2$ 是一个常宽为 $\tau$ 的球面凸体。已知：(i) 若 $\tau<\pi/2$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在一个常宽为 $\tau$ 的球面凸体 $C_\varepsilon$，其边界仅由半径为 $\tau$ 的圆弧组成，使得 $C$ 与 $C_\varepsilon$ 之间的豪斯多夫距离至多为 $\varepsilon$；(ii) 若 $\tau>\pi/2$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在一个常宽为 $\tau$ 的球面凸体 $C_\varepsilon$，其边界仅由半径为 $\tau-\frac{\pi}{2}$ 的圆弧和大圆弧组成，使得 $C$ 与 $C_\varepsilon$ 之间的豪斯多夫距离至多为 $\varepsilon$。在本文中，我们给出了剩余情况 $\tau=\pi/2$ 的逼近，即若 $\tau=\pi/2$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在一个常宽为 $\pi/2$ 的球面多胞体 $\mathcal{P}_\varepsilon$，使得 $C$ 与 $\mathcal{P}_\varepsilon$ 之间的豪斯多夫距离至多为 $\varepsilon$。