随机多面体在豪斯多夫度量下的均匀性态

我们研究了随机多面体（定义为独立同分布随机点的凸包）与其分布支撑的凸包之间的豪斯多夫距离。作为特例，我们考虑了凸体上的均匀分布、在接近凸体边界时以特定速率衰减的密度、高维凸体上均匀分布的投影以及凸体边界上的均匀分布。我们本质上区分两类凸体：具有光滑边界的凸体与多面体。对于均匀分布的情形，我们证明了在某种意义下，当支撑具有光滑边界时，随机多面体在豪斯多夫度量下达到其最佳统计精度；而当支撑为多面体时，达到最差统计精度。这有些令人惊讶，因为在尼科迪姆度量下情况恰好相反。我们证明了绝大多数结果在极小极大意义下的速率最优性。对于均匀分布情形，我们将结果推广到豪斯多夫度量的重标度版本。我们还处理了分布支撑的泛函估计，例如其平均宽度和直径。最后，我们展示了高维随机多面体可用简单的多面体表示来近似，这在不影响其统计精度的同时显著降低了计算复杂度。