含噪观测下凸支撑的估计

统计学中一类常见问题是从随机抽取的 $n$ 个观测中估计密度的支撑。一维情形归结为估计单变量密度的端点。实践中，实验者可能只能获得原始数据的含噪版本。因此，更现实的模型允许观测被加性噪声污染。本文考虑当加性噪声服从多元高斯分布时的凸体估计，尽管我们的技术也可轻易推广到其他噪声分布。与通过阈值化核密度估计实现的标准反卷积方法不同，我们的方法完全避免了调参和傅里叶变换。我们证明了我们的估计量可在 $(O(\ln n))^{(d-1)/2}$ 时间内计算，并以 $O_d(\log\log n/\sqrt{\log n})$ 的 Hausdorff 距离收敛速率收敛，这与高斯反卷积问题中遇到的多对数速率一致。我们分析的一部分还涉及所提估计量的最优性。我们给出了 Hausdorff 距离下极小极大估计速率的下界 $\Omega_d(1/\log^2 n)$。