凸体与时向测度重构算法的收敛性

我们研究由凸体 $K\subset\mathbb {R}^n$ 在 $k$ 个方向 $u_1,...,u_k$ 上的支撑函数或亮函数的带噪观测重建该凸体的算法。这些算法的核心思想是构造凸多胞体 $P_k$，其支撑函数（或亮函数）在方向 $u_1,...,u_k$ 上以最小二乘意义最佳逼近给定观测。假设测量误差随机独立且为高斯分布。我们证明该过程是（强）一致的，即几乎必然地，当 $k\to\infty$ 时 $P_k$ 在 Hausdorff 度量下趋于 $K$。此处需要对方向序列 $(u_i)$ 作若干温和假设。利用经验过程理论的结果，我们导出收敛速率估计，先是在 $L_2$ 度量下获得，再转移到 Hausdorff 度量。在此过程中，我们得到了包含于单位球中的原点对称zonoid类度量熵的一个新估计。类似结果用于一个算法的收敛性：该算法由平稳纤维过程在 $k$ 个方向 $u_1,...,u_k$ 上交玫瑰的带噪观测重构其定向测度的逼近测度。此处使用 Dudley 与 Prohorov 度量。这些方法通过交玫瑰是某个投影体的支撑函数这一事实与支撑函数和亮函数算法所用方法相联系。