凸体特征函数的相位恢复与基于协方差图的凸体重构

我们提出了强相合算法，用于从可能含噪声的傅里叶变换 \hat{1_K} 模的测量值中，重构未知凸体 K 在 R^n 中的特征函数 1_K。这为凸体特征函数的相位恢复问题提供了一个完整的理论解。该方法通过一个密切相关的问题实现，即从含噪声的协方差图（即 K 与其平移交集的体积函数）测量值中重构 K。在已知协方差图能确定凸体（除原点反射外，且当凸体位置固定时）的许多情形中，我们的算法使用 O(k^n) 个含噪协方差图测量值，构造一个凸多面体 P_k，该多面体逼近 K 或其关于原点的反射 -K。（根据最近的唯一性结果，这适用于所有平面凸体、所有三维凸多面体，以及所有对称的和大多数（在贝尔范畴意义上）任意维度的任意凸体。）我们提供了两种方法，并证明两者都是强相合的，即几乎必然地，当 k 趋于无穷时，P_k 与 K 或 -K 之间的豪斯多夫距离的最小值趋于零。