$\mathbb{C}^n$ 中的协方差图与 Fourier-Laplace 变换

$\mathbb{R}^n$ 中凸体 $K$ 的协方差图 (covariogram) $g_{K}$ 是一个函数，它将每个 $x\in\mathbb{R}^n$ 映射为 $K$ 与 $K+x$ 交集的体积。从 $g_K$ 的知识确定 $K$ 被称为协方差图问题。这等价于从 $K$ 的特征函数 $1_K$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的傅里叶变换 $\hat{1_K}$ 的模来确定 $1_K$，这是相位检索问题 (Phase Retrieval Problem) 的一个特例。我们将协方差图问题与视为 $\mathbb{C}^n$ 中函数的傅里叶变换 $\hat{1_K}$ 的两个方面联系起来。第一个联系是从 $\hat{1_K}$ 在 $\mathbb{C}^n$ 中的零点集知识来确定 $K$ 的问题。为了攻克这个问题，T. Kobayashi 研究了该零点集在无穷远处的渐近行为。我们在假设 $K$ 具有较低正则性的情况下获得了这种渐近行为，并将此结果作为关键要素，证明了当 $K$ 足够光滑且在任意维数 $n$ 下时，$K$ 在足够光滑的凸体类中由 $g_K$ 唯一确定。第二个联系与整函数 $\hat{1_K}$ 的不可约性有关。这种联系也揭示了协方差图问题与积分几何中的 Pompeiu 问题之间的联系。