盒子中的向量

对于整数 d>=1，令 tau(d) 为具有以下性质的最小整数：如果 v1,v2,...,vt 是 [-1,1]^d 中的 t>=2 个向量的序列，且 v1+v2+...+vt 也在 [-1,1]^d 中，那么存在索引集 {1,2,...,t} 的子集 S，2<=|S|<=tau(d)，使得 \sum_{i\in S} vi 在 [-1,1]^d 中。Dash, Fukasawa 和 Günlük 引入了量 tau(d)，他们证明了 tau(2)=2，tau(3)=4，以及 tau(d)=Omega(2^d)，并询问是否对所有 d，tau(d) 都是有限的。利用 Steinitz 引理（采用 Grinberg 和 Sevastyanov 的定量版本），我们证明了上界 tau(d) <= d^{d+o(d)}，并基于 Alon 和 Vu 的构造（其主要思想可追溯至 Hastad），我们得到了下界 tau(d)>= d^{d/2-o(d)}。这些结果有助于理解由 Dash 等人定义的多行主等式多面体，这是一个编码整数规划有效割平面的“通用”多面体（这一研究方向由 Gomory 在 20 世纪 60 年代末开创）。特别地，tau(d) 的上界意味着 Dash 等人针对约束数固定的整数规划提出的算法具有伪多项式运行时间。该算法包括求解一个线性规划，它为 Papadimitriou 1981 年的动态规划算法提供了一种替代方案。