d-正交多项式、Toda 格与 Virasoro 对称性

本文的主题是 d-正交多项式与 Toda 格 hierarchy 之间的联系。更具体地，我们考虑一些类似于 Hermite 多项式但满足 $d+2$ 项递推关系（$d >1$）的多项式系统。任一此类多项式系统都定义了一个 Toda 格 hierarchy 的解。然而我们还附加了这些多项式同时是某微分算符本征函数的条件，即一个双谱问题。这导出一个具有若干特殊性质的 Toda 格 hierarchy 的解。特别地，相应的 tau 函数 $\tau_m$ 满足 Virasoro 约束。这些 tau 函数最引人注目的特征是它们全都是矩阵模型的配分函数。其中一些是著名的矩阵模型——例如 Kontsevich 模型、Kontsevich-Penner 模型、$r$-spin 模型等。一个值得注意的现象是，对应于 $d=2$ 的解包含了两个著名的 tau 函数，分别描述紧致 Riemann 曲面与开 Riemann 曲面上模空间的交数。