中心对称 k-邻接多胞体与大型严格对踵集的显式构造

我们给出了具有约 $3^{d/2} = (1.73)^d$ 个顶点的中心对称 2-邻接 d 维多胞体，以及具有约 $2^{c_k d}$ 个顶点的中心对称 k-邻接 d 多胞体的显式构造，其中 $c_k=3/20 k^2 2^k$。利用这一结果，对于固定的 $k > 1$ 和任意大的 $d$ 与 $N$，我们构造了一个具有 $N$ 个顶点的中心对称 d 多胞体，其维数为 $k-1$ 的面至少有 $(1-k^2 (\gamma_k)^d) \binom{N}{k}$ 个，其中 $\gamma_2=1/\sqrt{3} = 0.58$，且当 $k > 2$ 时 $\gamma_k = 2^{-3/{20k^2 2^k}}$。另一项应用是构造了 $\mathbb{R}^d$ 中由 $3^{d/2 -1}-1$ 个点构成的集合（其中每两个点都是严格对踵的），以及构造了 $\mathbb{R}^d$ 中（对于任意大的 $n$）具有许多严格对踵点对的 $n$ 点集。后两个结果分别显著改进了 Talata 以及 Makai 和 Martini 此前的界。