邻位立方多胞体

邻位立方多胞体是存在的：对任意 $n\ge d\ge 2r+2$，存在一个立方凸 d-多胞体 $C^n_d$，其 $r$-骨架与 $n$ 维立方体的 $r$-骨架组合等价。这解决了 Babson、Billera 与 Chan 的一个问题。Kalai 猜想邻位立方多胞体 $C^n_d$ 的边界 $\partial C^n_d$ 在所有具有 $2^n$ 个顶点的立方 $(d-1)$-球中极大化 $f$-向量。虽然我们证明了对于 $n\le d+1$ 的多胞球形是成立的，但我们也给出了 $d=4$ 且 $n=6$ 时的一个反例。此外，邻位立方多胞体的存在性表明，当 $n\ge5$ 时，$n$ 维立方体的图在 Gr"unbaum 意义下是“维度歧义的”。我们还证明了 5-立方体的图是“强 4-歧义的”。在 $d=4$ 的特殊情形下，邻位立方多胞体有 $f_3=f_0/4 \log_2 f_0/4$ 个顶点，因此面-顶点比 $f_3/f_0$ 无界；这解决了 Kalai、Perles 与 Stanley 的一个问题，该问题曾由 Jockusch 研究过。