二项式系数、单位根与素数幂

给定 $t\in\mathbb{N}_+$ 。本文致力于刻画满足如下同余式对每个 $n\in\mathbb{Z}$ 均成立的那些 $d\in\mathbb{N}_+$：$$\frac{1}{t}\sum_{s=0}^{t-1}{n+d\zeta_t^s\choose d-1}\equiv {n\choose d-1}\pmod{d}$$ 特别地，假设 $d$ 有一个大于 $t$ 的素因子，我们证明上述同余式对每个 $n\in\mathbb{Z}$ 成立当且仅当 $d=p^r$，其中 $p$ 是大于 $t$ 的素数且 $r\in\{1,\ldots ,t\}$。