理想之和的幂的Betti分裂

设 $A$ 和 $B$ 是域 $k$ 上的标准分次多项式环，$I$ 和 $J$ 分别是包含在 $A$ 和 $B$ 中的非零真齐次理想。用 $P$ 表示在 $R=A\otimes_k B$ 中 $I$ 与 $J$ 的和。在 $k, I$ 和 $J$ 的合理条件下，我们提供精确公式并描述 $P$ 的幂的深度和正则性的渐近行为，用 $I$ 和 $J$ 的数据表示。由此，我们加强了 H.T. H\`a, N.V. Trung 和 T.N. Trung 先前的工作。我们的主要技术结果表明，在上述条件下，对所有 $s\ge 0$ 和所有 $n\ge 1$，简单分解 $I^sP^n=I^{s+1}P^{n-1}+I^sJ^n$ 给出了 $I^sP^n$ 的一个 Betti 分裂。如果一个理想 $L$ 分解为两个子理想之和，且 $L$ 的最小自由分解完全由这些子理想及其交集的最小自由分解决定，则称该分解为 Betti 分裂。