关于模块对称幂的贝特数

设 $M$ 是局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 上的一个有限生成模。记 $\mathcal{S}_j(M)$ 为 $M$ 的第 $j$ 次对称幂（即对称代数 $\mathcal{S}_R(M)$ 的第 $j$ 级导数）。本文旨在研究 $\mathcal{S}_j(M)$ 作为 $R$-模的最小自由分解，以确定 $\mathcal{S}_j(M)$ 的贝特数，并以 $M$ 的贝特数表达式给出其形式。例如，对于线性类型理想 $I$，我们得到 $I^j$ 的贝特数表达式。此外，我们给出 $\mathcal{S}_j(M)$ 贝特数的上界和下界。特别是，我们获得了著名的Buchsbaum-Eisenbud-Horrocks猜想的若干应用。