拓扑视角下的 Betti 分裂

单项式理想 $I$ 的 Betti 分裂 $I=J+K$ 确保了从 $J,K$ 和 $J \cap K$ 的分级 Betti 数恢复 $I$ 的分级 Betti 数。在本文中，我们将这一条件引入单纯复形，并通过使用 Alexander 对偶，证明了它等价于某些顶点链接上的递归分裂条件。所采用的视角使得能够将单纯复形 $\Delta$ 的 Betti 分裂的存在性与 $\Delta$ 的拓扑性质联系起来。在其他结果中，我们证明了无边界流形的可定向性等价于允许由移除单个面诱导的 Betti 分裂。利用这种拓扑方法，我们提供了文献中第一个具有 Betti 分裂但解析依赖于特征数的例子。此外，我们引入了分裂概率的概念，用于处理有关 Betti 分裂存在性的结果。