某些图的符号幂正则性

设 $G_{n,r}$ 表示具有 $n$ 个顶点 $\{x_1,\ldots,x_n\}$（按循环顺序排列）的图，对每个顶点 $x_i$ 考虑集合 $A_i=\{x_{i-r},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+2},\ldots, x_{i+r}\}$，其中当 $i<j$ 时 $x_{i-j}$ 为顶点 $x_{n+i-j}$，且 $0\leq r\leq \Bigl\lfloor\dfrac{n}{2}\Bigr\rfloor -1$。在 $G_{n,r}$ 中，每个顶点 $x_i$ 与 $V(G_{n,r})\backslash A_i$ 的所有顶点相邻。令 $I=I(G_{n,r})$ 为 $G_{n,r}$ 的边理想。我们证明 Minh 猜想对 $I$ 成立，即 $I$ 的普通幂与符号幂的正则性相等。我们计算了整个类的 Waldschmidt 常数与复苏数。