二项式边缘理想的渐近不变量

给定一个图 $G$，可关联其二项式边缘理想 $J_G$，由对应边缘的二项式生成。本文研究 $J_G$、其 lexicographic 初始理想 $\mathrm{in}_<(J_G)$ 以及其多重graded通用初始理想 $\mathrm{gin}(J_G)$ 的渐近行为。我们关注Waldschmidt常数 $\widehat{\alpha}$ 和渐近正则性 $\widehat{\mathrm{reg}}$，后者捕捉最小生成器次数和Castelnuovo--Mumford正则性的线性增长。我们显式计算 $\widehat{\alpha}(J_G)$ 和 $\widehat{\alpha}(\mathrm{in}_<(J_G))$，并比较 $J_G$ 和其子图 $H$ 的符号幂的Betti数。为分析 $\mathrm{in}_<(J_G)$ 和 $\mathrm{gin}(J_G)$，我们使用符号多面体，这是编码单项式理想符号幂元素的凸多面体。我们通过 $G$ 的诱导连通子图确定其顶点，并表明 $\widehat{\alpha}(\mathrm{gin}(J_G))=\widehat{\alpha}(I_G)$，其中 $I_G$ 为 $G$ 的边缘理想。这提供了一种已知 $I_G$ $\widehat{\alpha}$ 上界（以 $G$ 的clique数和chromatic数为界）的另一种证明。