关于Hilbert系数、相伴分次环的深度与约化数

设$(R,\mathfrak{m})$为一个$d$维Cohen-Macaulay局部环，$I$为$R$的$\mathfrak{m}$-准素理想，$J=(x_1,...,x_d)$为$I$的极小约化。我们证明，如果$J_{d-1}=(x_1,...,x_{d-1})$且$\sum\limits_{n=1}^\infty\lambda{({I^{n+1}\cap J_{d-1}})/({J{I^n} \cap J_{d-1}})=i}$，其中$i=0,1$，则$\text{depth } G(I)\geq{d-i-1}$。此外，我们证明，如果$e_2(I) = \sum_{n=2}^\infty (n-1) \lambda (I^n/JI^{n-1})-2$；或者如果$I$是整闭的且$e_2(I) = \sum_{n=2}^\infty (n-1)\lambda({{I^{n}}}/JI^{n-1})-i$，其中$i=3,4$，则$e_1(I) = \sum_{n=1}^\infty \lambda(I^n / JI^{n-1})-1$。另外，我们证明了$r(I)$是独立的。此外，我们在其他一些条件下研究了$r(I)$的独立性。