关于 $\mathfrak m$-准素理想的 Ratliff-Rush 滤链、约化数与假设数的一点注记

设 $(R,\mathfrak m)$ 为维数 $d\geq 2$ 的 Cohen-Macaulay 局部环，$I$ 为 $\mathfrak m$-准素理想。令 rd$(I)$ 为 $I$ 的约化数，n$(I)$ 为假设数。我们证明当 $d=2$ 时，若 n$(I)=\rho(I)-1$，则 rd$(I) \leq$n$(I)+2$；若 n$(I)\neq \rho(I)-1$，则 rd$(I)\geq$n$(I)+2$。对 $d \geq 3$，若 $I$ 为整闭、depth gr$(I) = d-2$ 且 n$(I)=-(d-3)$，则我们证明 rd$(I)\geq$n$(I)+d$。我们的主要结果是通过将关联分次环的深度条件放宽为 Ratliff-Rush 滤链关于模一个表面元的 $I$ 的良好性，推广了 T. Marley 关于 Hilbert-Samuel 函数与 Hilbert-Samuel 多项式之间关系的结果。由此结果可得：对维数 $d\geq2$ 的 Cohen-Macaulay 环，若对某个 $k \geq \rho(I)$ 有 $P_{I}(k)=H_{I}(k)$，则对所有 $n \geq k$ 均有 $P_{I}(n)=H_{I}(n)$。