准希尔伯特环与 Ratliff-Rush 过滤

设 $A$ 为一个非 Gorenstein 的 Cohen-Macaulay 环，维数 $d\geq 1$，$I$ 为 $A$ 的理想，且 $\omega_A$ 为 $A$ 的规范模。设 $$r(I,\omega_A) = \bigcup_{n \geq 0} (I^{n+1} \omega_A : I^{n} \omega_A) \subseteq A .$$ 我们证明理想 $r(I,-)$ 是 $\omega_A$ 不变的。为了此性质，我们引入一种新型的环，称为准希尔伯特环 (quasi Hilbert ring)。我们给出若干准希尔伯特环的例子并讨论其若干应用。设 $A$ 为局部环，最大理想为 $\mathfrak{m}$。我们证明 $A$ 为准希尔伯特环当且仅当其完成 $\widehat{A}$ 为准希尔伯特环。若 $d\geq 2$ 且 $x\in \mathfrak{m}\setminus \mathfrak{m}^2$ 为 $A\bigoplus \omega_A$ 的 superficial 元，则若 $A$ 为准希尔伯特环，则 $A/(x)$ 亦为准希尔伯特环。记 $\widetilde{I}$ 为理想 $I$ 的 Ratliff-Rush 闭包，我们也给出充分条件，确保 $r(I^n,\omega_A)/\widetilde{I^n}$ 对所有 $n\geq 1$ 均为零。