圈图路径理想幂的深度与Stanley深度

设 $J_{n,m}:=(x_1x_2\cdots x_m,\; x_2x_3\cdots x_{m+1},\; \ldots,\; x_{n-m+1}\cdots x_n,\; x_{n-m+2}\cdots x_nx_1, \ldots, x_nx_1\cdots x_{m-1})$ 为长度 $n$ 的圈图在环 $S=K[x_1,\ldots,x_n]$ 中的 $m$-路径理想。令 $d=\gcd(n,m)$。我们证明对所有 $t\geq n-1$ 有 $\operatorname{depth}(S/J_{n,m}^t)\leq d-1$。我们表明对所有 $t\geq 1$ 有 $\operatorname{sdepth}(S/J_{n,n-1}^t)=\operatorname{depth}(S/J_{n,n-1}^t)=\max\{n-t-1,0\}$。此外,我们给出了 $\operatorname{depth}(S/J_{n,m}^t)$ 与 $\operatorname{sdepth}(S/J_{n,m}^t)$ 在 $t\geq 1$ 时的一些界。