n个变量中由n+1个一般形式生成的理想的一些新Betti数

一般而言，关于分次代数 $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/(g_1,\ldots,g_r)$（其中 $r>n$，$g_i$ 为次数为 $e_i$ 的一般形式）的 Hilbert 级数，目前所知甚少。已知该级数的一个情形是 n 个变量中的 $n+1$ 个形式 \cite{St}。当然，关于 Betti 数的了解更少。Pardue 和 Richert 在 \cite{Pa-Ri,Pa-Ri1} 中，以及 Diem 在 \cite{Di} 中，给出了关于 Betti 表的一些一般性结果。随后，Migliore 和 Mir\`o-Roig 在 \cite{Mi-Mi} 中给出了关于 n 个变量中 $n+1$ 个关系情形下 Betti 数的结果（描述如下），同一作者在 \cite{Mi-Mi1} 中给出了更一般情形下的部分结果。在本文中，我们考虑与 \cite{Mi-Mi} 相同的情形，即 n 个变量中的 $n+1$ 个形式。我们的结果可描述如下。我们能够确定 $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/(g_1,\ldots,g_{n+1})$（其中 $g_i$ 为一般形式）的所有分次 Betti 数，至少在 $\sum_{i=1}^{n+1}\deg(g_i)-n$ 为偶数时成立，且通常适用于更多情形。因此，给定任意集合 $\{ e_1,\ldots,e_n\}$（对所有 $i$ 均有 $e_i\ge2$），若 $\deg(g_i)=e_i$（$i=1,\ldots,n$），我们得到许多数值 $D_j$，从而能够确定 $\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]/(g_1,\ldots,g_{n+1})$ 的所有分次 Betti 数，其中 $\deg(g_i)=e_i$（$1\le i\le n$），$\deg(g_{n+1})=D_j$。证明的主要依据是 Pardue 和 Richert \cite{Pa-Ri,Pa-Ri1} 以及后来 Diem \cite{Di} 的一个定理，以及 Reid, Roberts 和 Roitman \cite{R-R-R} 关于 Artin 完全交 Hilbert 级数定理的一个新的简短证明。我们还给出了在极小分解中具有许多所谓“幽灵项”的代数示例。