1-平面图边划分的新结果

$1$-平面图是嵌入在平面中的图，使得每条边最多被交叉一次。NIC-平面图是一种 $1$-平面图，其中任意两对交叉边最多共享一个端点。$1$-平面图 $G$ 的边划分是用红色和蓝色两种颜色对 $G$ 的边进行着色，使得由红边导出的图和由蓝边导出的图均为平面图。我们证明以下结果：$(i)$ 每个 NIC-平面图都存在一个边划分，使得红色图的最大顶点度数为三；该顶点度数的界是最坏情况最优的。$(ii)$ 判定一个 $1$-平面图是否存在边划分使得红色图的最大顶点度数为二是 NP 完全的。$(iii)$ 判定一个 $1$-平面图是否存在边划分使得红色图的最大顶点度数为一，并在肯定情况下计算该划分，可在二次时间内完成。此外还讨论了这些结果在图绘制中的应用。