有界度图的冻结 $(\Delta+1)$-染色

设 $G$ 为最大度数为 $\Delta$ 的图，$k$ 为整数。$G$ 的 $k$-重染色图是指其顶点为 $G$ 的 $k$-染色，且两个 $k$-染色若恰好在一个顶点上不同则相邻的图。众所周知，当 $k\geq \Delta+2$ 时 $k$-重染色图是连通的。Feghali、Johnson 和 Paulusma [Journal of Graph Theory, 83(4):340--358] 证明了 $(\Delta+1)$-重染色图由一个大小至少为 $2$ 的唯一连通分支和（可能很多的）孤立顶点组成。在本文中，我们研究 $(\Delta+1)$-重染色图中孤立顶点（亦称冻结染色）的比例。我们的主要贡献是证明，若 $G$ 连通，则 $G$ 的冻结染色比例比染色总数呈指数级小。这促使我们研究 $(\Delta+1)$-染色上的 Glauber 动力学。与针对 $k\geq \Delta+2$ 种颜色的混合时间猜想相反，我们证明 $(\Delta+1)$-染色的 Glauber 动力学混合时间可达二次阶。最后，我们证明了关于存在大围长且具冻结染色的图的一些结果，并研究了随机正则图中的冻结染色。