Online-LOCAL 模型中网格 3-染色的紧下界

最近，\citeauthor*{akbari2021locality}~(ICALP 2023) 从统一的视角研究了分布式、串行、动态和在线设置下图问题的局部性。他们在 $\mathsf{Online}$-$\mathsf{LOCAL}$ 模型中设计了一种新颖的 $O(\log n)$-局部性确定性算法，用于对二部图进行正确的 3-染色。在本工作中，我们通过证明即使在网格上也成立的 \textit{紧} 确定性 $\Omega(\log n)$ 局部性下界，确立了该算法的最优性。作为该结果的补充，我们有以下额外结果：\begin{enumerate} \item 我们展示了环面网格和圆柱网格 3-染色的更高且 {紧} 的 $\Omega(\sqrt{n})$ 下界。 \item 考虑将二部图的 $3$-染色推广为 $k$-部图的 $(k+1)$-染色，%其中 $k \geq 2$ 为常数，我们证明当输入是 admit \emph{局部可推断唯一染色} 的 $k$-部图时，该问题同样具有 $O(\log n)$ 局部性。这类特殊的 $k$-部图涵盖了若干基本图类，如 $k$-树和三角网格。此外，对于这类特殊的图，我们证明了 {紧} 的 $\Omega(\log n)$ 局部性下界。 \item 对于 $k \geq 3$ 的一般 $k$-部图，我们证明在 $\onlineLOCAL$ 模型中，$(2k-2)$-染色 $k$-部图的问题表现出 $\Omega(n)$ 的局部性，这与 \citeauthor*{coiteux2023no}~(STOC 2024) 最近展示的 $\LOCAL$ 模型中同一问题的轮复杂度相匹配。因此，当 $k\geq 3$ 时，$(k+1)$-染色 $k$-部图的问题存在 $\Omega(n)$ 的局部性下界，这与 $k=2$ 情况下的 $\Theta(\log n)$ 局部性形成鲜明对比。 \end{enumerate}