小直径图 3-可着色性的算法与几乎紧确结果

尽管已针对多个基本参数对 3-着色问题进行了广泛研究，但直径较小（即直径为 2 或 3）的图上 3-着色问题的复杂性状态长期以来一直是一个充满挑战的开放性问题。对于直径为 2 的图，我们提供了首个复杂度为 $2^{O(\sqrt{n\log n})}$ 的次指数算法，其渐近复杂度与目前图同构 (GI) 问题的最佳已知时间复杂度相同。此外，我们证明了直径为 2 的 3-可着色图上的图同构问题是 GI-完全的。我们还提出了一类直径为 2 的图子类，其 3-着色存在多项式算法。对于直径为 3 的图，我们通过证明对于任意 $\varepsilon \in [0,1)$，在具有 $n$ 个顶点、最小度 $\delta=\Theta(n^{\varepsilon})$ 的无三角直径 3 且半径 2 的图上，3-着色是 NP-完全的，从而确立了 3-着色的复杂性。此外，假设 ETH 成立，我们对硬度结果进行了三种不同的放大，从而得出对于任意 $\varepsilon \in [0,1)$，在最小度 $\delta=\Theta(n^{\varepsilon})$ 的无三角直径 3 图上，3-着色复杂性的次指数下界。最后，我们为直径 3 的图提供了一种运行时间为 $2^{O(\min\{\delta\Delta,\frac{n}{\delta}\log\delta\})}$ 的 3-着色算法，其中 $\delta$（分别为 $\Delta$）是输入图的最小度（分别为最大度）。据我们所知，该算法是针对 $\delta=\omega(1)$ 的图以及 $\delta=O(1)$ 且 $\Delta=o(n)$ 的图的首个次指数算法。鉴于上述 3-着色复杂性的下界，当输入图的最小度为 $\delta=\Theta(n^{\varepsilon})$（其中 $\varepsilon \in [1/2,1)$）时，该算法的运行时间在渐近意义上几乎是紧确的。