曲面四边形剖分的局部色数

图的局部色数由Erdős等人引入[4]。在[17]中，建立了与图（的复形）的拓扑性质的联系，并在[18]中证明，如果一个图是强拓扑4-色的，则其局部色数至少为4。由此可推广Youngs的如下定理：若射影平面的四边形剖分不是二部图，则其色数为4。该推广指出，在此情况下局部色数也为4。文献[1]和[13]将Youngs的结果推广到任意不可定向曲面，用奇四边形剖分这一更技术性的条件替代图非二部图的条件。本文研究这些一般结果在局部色数而非色数情形下何时成立。令人惊讶的是，我们发现（与色数情形不同）这取决于曲面的亏格。对于亏格不超过4的不可定向曲面，任何奇四边形剖分的局部色数至少为4，但对于亏格为5或更高的不可定向曲面，这一结论不成立。我们还证明，任意曲面上奇四边形剖分的面细分和Fisk三角剖分在局部色数上的表现与在通常色数上的表现相同。