局部色数、Ky Fan 定理与循环着色
组合数学
2007-05-23 v3 代数拓扑
摘要
图的局部色数由 Erdos 等人于 1986 年引入。它介于色数与分数色数之间。这促使人们研究那些这些量相差甚远的图的局部色数。此类图包括 Kneser 图、其顶点色临界子图、Schrijver（或稳定 Kneser）图；Mycielski 图及其推广；以及 Borsuk 图。我们对其中许多图的局部色数给出了大致紧的界。我们使用 Ky Fan 的一个推广 Borsuk-Ulam 定理的旧拓扑结果。它意味着在众多图的每种真着色中存在一个平衡完全二部图在 t 个点上的多色拷贝，这些图的色数 t 由拓扑论证确定。（这一点 Ky Fan 曾特别针对 Kneser 图标明过。）这给出了这些图的局部色数的下界 t/2+1。我们证明该界在许多情形是紧的或几乎紧的。作为上述内容的另一推论，我们证明此处考虑的图在后者为偶数时具有相等的循环色数与普通色数。这部分的证明了 Johnson、Holroyd 和 Stahl 的一个猜想，且由 F. Meunier 独立得到。我们还表明奇色 Schrijver 图表现不同，它们的循环色数可任意接近于另一极端。
引用
@article{arxiv.math/0407075,
title = {Local chromatic number, Ky Fan's theorem, and circular colorings},
author = {Gabor Simonyi and Gabor Tardos},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0407075},
year = {2007}
}
备注
35 pages. Appropriate references added, Theorem 1 is now proven from Ky Fan's theorem. Some earlier parts (e.g., Theorem 2 and Section 7) are removed and will be put into another paper. Current Theorem 22 and Section 6 are new