局部 $s$-可着色图的色差

图 $G$ 的色差（chromatic discrepancy）记为 $\phi(G)$，指在所有proper colorings $\sigma$ 中，最大的差值：即诱导子图 $H$ 所span的颜色数 $|\sigma(V(H))|$ 与其染色数 $\chi(H)$ 之间的差距。我们证明，无三角形图 $G$ 的色差至少为 $\chi(G)-2$。这一结果最佳，且正面回应了Aravind、Kalyanasundaram、Sandeep及Sivadasan所提出的问题。更一般地，我们定义局部 $s$-可着色图：若图中任意顶点 $v$ 的闭邻域可proper地 $s$-着色，则称 $G$ 为局部 $s$-可着色图。特别地，无三角形图是局部 $2$-可着色图。我们推测每个局部 $s$-可着色图 $G$ 都满足 $\phi(G) \geq \chi(G)-s$，并证明此猜想在 $\chi(G) \leq 11s/6$ 时成立。我们进一步证明，每个局部 $s$-可着色图 $G$ 满足 $\phi(G) \geq \chi(G) - s\ln \chi(G)$。若猜想成立，则对每个整数 $\ell \geq 2$，无 $C_{\ell+1}$（长度为 $\ell+1$ 的环）的图 $G$ 满足 $\phi(G) \geq \chi(G) - \ell$。当 $\ell \geq 3$ 且 $G \neq K_\ell$ 时，我们猜想实际上有 $\phi(G) \geq \chi(G) - \ell + 1$，并在 $\ell = 3$ 或 $\chi(G) \leq 5\ell/3$ 的特殊情况证明。我们进一步得到，每个 $C_{\ell+1}$-free图 $G$ 满足 $\phi(G) \geq \chi(G) - O_{\ell}(\ln \ln \chi(G))$。为此，我们确定了图中半径至多为 $\ell/2$ 的球的染色数的近紧界，这可能独有兴趣。