关于图的最大着色数

设 $\mathcal{C}_k(n)$ 为所有 $n$ 阶连通 $k$-色图的族。给定自然数 $x\geq k$，我们考虑在 $\mathcal{C}_k(n)$ 中寻找最大 $x$-着色数的问题。当 $k\leq 3$ 时，该问题的答案已知；而当 $k\geq 4$ 时，该问题尚未解决。对于 $k\geq 4$，有人猜想最大 $x$-着色数为 $x(x-1)\cdots (x-k+1)\,x^{n-k}$。在本文中，我们在图的独立数至多为 2 的附加条件下证明了该猜想。