关于稀疏图的星 5-染色

图 $G$ 的\textit{星 $k$-染色}是 $G$ 的一种正常（顶点）$k$-染色，使得长度为三的路径上的顶点至少接收到三种颜色。给定图 $G$，其\textit{星色数}记为 $\chi_s(G)$，是使 $G$ 容许星 $k$-染色的最小整数 $k$。研究稀疏图的星染色是一个活跃的研究领域，尤其是就图的最大平均度而言；图 $G$ 的\textit{最大平均度}记为 $mad(G)$，定义为 $\max\left\{ \frac{2|E(H)|}{|V(H)|}:{H \subset G}\right\}$。已知对于图 $G$，若 $mad(G)<\frac{8}{3}$，则 $\chi_s(G)\leq 6$；若 $mad(G)< \frac{18}{7}$ 且围长至少为 6，则 $\chi_s(G)\le 5$。我们改进了这两个结果，证明对于图 $G$，若 $mad(G)\le \frac{8}{3}$，则 $\chi_s(G)\le 5$。作为一个直接推论，我们得到围长至少为 8 的平面图具有星 5-染色，改进了平面图具有星 5-染色的最佳已知围长条件。