稀疏图的单射染色

令$mad(G)$表示$G$的最大平均度（在所有子图上），$\chi_i(G)$表示$G$的单射色数。我们证明，如果$mad(G) \leq 5/2$，则$\chi_i(G)\leq\Delta(G) + 1$；如果$mad(G) < 42/19$，则$\chi_i(G)=\Delta(G)$。假设$G$是一个围长为$g(G)$且$\Delta(G)\geq 4$的平面图。我们证明，如果$g(G)\geq 9$，则$\chi_i(G)\leq\Delta(G)+1$；类似地，如果$g(G)\geq 13$，则$\chi_i(G)=\Delta(G)$。