星着色与受限星着色的难度转变

我们研究图着色问题星着色和受限星着色的复杂度如何随图的最大度变化。受限星着色（简称rs着色）是星着色的一种变体。对于$k\in \mathbb{N}$，图$G$的$k$-着色是一个函数$f\colon V(G)\to \mathbb{Z}_k$，使得对$G$的每条边$uv$有$f(u)\neq f(v)$。若$G$中不存在路径$u,v,w,x$满足$f(u)=f(w)$且$f(v)=f(x)$，则$G$的$k$-着色称为$G$的$k$-星着色。若$G$中不存在路径$u,v,w$满足$f(v)>f(u)=f(w)$，则$G$的$k$-着色称为$G$的$k$-rs着色。对于$k\in \mathbb{N}$，问题$k$-STAR COLOURABILITY以图$G$为输入，询问$G$是否容许$k$-星着色。问题$k$-RS COLOURABILITY类似定义。最近，Brause等人（Electron. J. Comb., 2022）研究了3-星着色关于图直径的复杂度。我们研究对所有$k\geq 3$的$k$-星着色和$k$-rs着色关于最大度的复杂度。对$k\geq 3$，令最小整数$d$使得$k$-STAR COLOURABILITY（相应$k$-RS COLOURABILITY）对最大度$d$的图为NP完全，记为$L_s^{(k)}$（相应$L_{rs}^{(k)}$）。我们证明对$k=5$和$k\geq 7$，$k$-STAR COLOURABILITY对最大度$k-1$的图为NP完全。我们还展示$4$-RS COLOURABILITY对围长5的平面3-正则图为NP完全，且对$k\geq 5$的$k$-RS COLOURABILITY对最大度$k-1$的无三角形图为NP完全。利用这些结果，我们证明如下：（i）对$k\geq 4$和$d\leq k-1$，$k$-STAR COLOURABILITY对$d$-正则图为NP完全当且仅当$d\geq L_s^{(k)}$；且（ii）对$k\geq 4$，$k$-RS COLOURABILITY对$d$-正则图为NP完全当且仅当$L_{rs}^{(k)}\leq d\leq k-1$。