度量维数的容错性及其变体

Hernando 等人 (2008) 引入了容错度量维数 $\text{ftdim}(G)$，其为图 $G$ 中最小大小的解决集 $S$，使得 $S-\left\{s\right\}$ 也是 $G$ 的解决集，对每个 $s \in S$。他们发现上限 $\text{ftdim}(G) \le \dim(G) (1+2 \cdot 5^{\dim(G)-1})$，其中 $\dim(G)$ 表示图 $G$ 的标准度量维数。直到最近，Knor 等人 (2024) 才发现存在一族图，其中 $\text{ftdim}(G) = \dim(G)+2^{\dim(G)-1}$，适用于任意可能的 $\dim(G)$ 值。我们改进了容错度量维数的上限，证明 $\text{ftdim}(G) \le \dim(G)(1+3^{\dim(G)-1})$ 对每个连通图 $G$ 均成立。此外，我们找到一个无限连通图族 $J_k$，使得 $\dim(J_k) = k$ 且 $\text{ftdim}(J_k) \ge 3^{k-1}-k-1$，其中 $k$ 为每个正整数。我们的结果表明，[\lim_{k \rightarrow \infty} ( \max_{G: \text{ } \dim(G) = k} \frac{\log_3(\text{ftdim}(G))}{k} ) = 1.]此外，我们考虑了容错边度量维数 $\text{ftedim}(G)$，并相对于边度量维数 $\text{edim}(G)$ 进行上界界定，表明 [\lim_{k \rightarrow \infty} ( \max_{G: \text{ } \text{edim}(G) = k} \frac{\log_2(\text{ftedim}(G))}{k} ) = 1.]我们也获得了关于度量维数及其变体的一些其他极值问题的尖锐极值界。特别是，我们证明了关于边度量维数的极值问题与 Erd\H{o}s 与 Kleitman (1974) 在极端集合论中的开放问题之间的等价性。