度量基的容错性可能代价高昂
组合数学
2024-10-07 v1
摘要
若干图 G 中的顶点集合 S 为解决集; 若对 G 中的每个顶点对 x 与 y, 都存在 S 中的顶点 s, 使得 x 与 y 在距离 s 处不同。G 的最小解决集称为度量基。度量维数 dim(G) 为 G 的度量基的基数。度量基的概念用于网络中传感器的放置问题, 其中传感器故障问题可能出现。容错度量维数 ftdim(G) 为最小解决集 S 的基数, 使得对每个 s in S, S\{s} 仍为 G 的解决集。一个自然问题是: 为实现容错度量基需要额外使用多少传感器。文献中已知存在上界是指数级的，即 ftdim(G) <= dim(G)(1+2^(5dim(G)-1))。本文构造图 G, 使得 ftdim(G) = dim(G)+2^(dim(G)-1) 对于任意 dim(G) 值均成立, 从而证明指数上界是必要的。我们也将这些结果推广到 k-度量维数, 这是容错度量维数的一种泛化。首先, 我们在 dim(k)(G) 的基础上建立指数级上界 dim(k+1)(G); 随后, 我们指出存在图 G, 使得 dim(k+1)(G) 确实是指数的。对于可能的后续工作, 我们留下了需要缩小上下界之间的差距的问题。
引用
@article{arxiv.2410.03656,
title = {Fault tolerance of metric basis can be expensive},
author = {Martin Knor and Jelena Sedlar and Riste Škrekovski},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.03656},
year = {2024}
}
备注
15 pages, 3 figures