广义 de Bruijn 图和 Kautz 有向图的距离支配

设 $G=(V,A)$ 为一个有向图，$k\ge 1$ 为整数。对于 $u,v\in V$，如果从 $u$ 到 $v$ 的距离至多为 $k$，则称顶点 $u$ 距离 $k$-支配 $v$。$G$ 中的顶点集 $D$ 称为距离 $k$-支配集，如果 $V\setminus D$ 中的每个顶点都被 $D$ 中的某个顶点距离 $k$-支配。$G$ 的{\em 距离 $k$-支配数}（记为 $\gamma_{k}(G)$）是 $G$ 的距离 $k$-支配集的最小基数。广义 de Bruijn 有向图 $G_B(n,d)$ 和广义 Kautz 有向图 $G_K(n,d)$ 是互连网络的良好候选者。Tian 和 Xu 证明了 $\big \lceil n\big/\sum_{j=0}^kd^j\big\rceil\le \gamma_{k}(G_B(n,d))\le \big\lceil n/d^{k}\big\rceil$ 以及 $\big \lceil n \big/\sum_{j=0}^kd^j\big\rceil\le \gamma_{k}(G_K(n,d))\le \big\lceil n/d^{k}\big\rceil$。在本文中，我们证明了每个广义 de Bruijn 有向图 $G_B(n,d)$ 的距离 $k$-支配数为 $\big\lceil n\big/\sum_{j=0}^kd^j\big\rceil$ 或 $\big\lceil n\big/\sum_{j=0}^kd^j\big\rceil+1$，且每个广义 Kautz 有向图 $G_K(n,d)$ 的距离 $k$-支配数以 $\big\lceil n\big/(d^{k-1}+d^{k})\big\rceil$ 为上界。此外，我们给出了 $\gamma_{k}(G_B(n,d))=\big\lceil n\big/\sum_{j=0}^kd^j\big\rceil$ 和 $\gamma_{k}(G_K(n,d))=\big\lceil n\big/\sum_{j=0}^kd^j\big\rceil$ 的各种充分条件。