$d$距离$p$ packing支配数：复杂度、环与树

若对图G中每个顶点u，都存在集合X中的某个顶点x使得距离d(u,x) ≤ d，则集合X⊆V(G)称为d距离支配集。若X中任意两个不同顶点u,v的距离满足d(u,v) ≥ p+1，则X称为p packing。图G的d距离p packing支配数 γ_d^p(G)是指所有既是d距离支配集又是p packing的顶点集合中最小者的大小。证明对于任意固定整数d和p，其中2 ≤ d且0 ≤ p ≤ 2d-1，判断γ_d^p(G) ≤ k是否成立的决策问题对于二分平面图是NP完全的。给出C_n中是否存在d距离p packing支配集的必要充分条件，并确定γ_d^p(C_n)在所有d、p和n下的值。对于具有ℓ个叶子和s个支撑顶点的n顶点树T，证明：(i) γ_2^0(T) ≥ (n-ℓ-s+4)/5，(ii) ⌈(n-ℓ-s+4)/5⌉ ≤ γ_2^2(T) ≤ ⌊(n+3s-1)/5⌋，且若d ≥ 2，则(iii) γ_d^2(T) ≤ (n-2√n+d+1)/d。不等式(i)改进了Meierling和Volkmann之前的下界，独立于Raczek、Lemańska和Cyman；而(iii)扩展了Henning关于γ_2^2(T)的先前结果。讨论并在大多数情况下证明这些下界的尖锐性。还证明每个连通图G都包含一个支配树T，使得γ_2^2(T) ≤ γ_2^2(G)。