重访 k-重支配集并侧重小取值 k 的情形

对于任意阶为 $n$、度序列为 $d_{1}\geq\cdots\geq d_{n}$ 的图 $G$，我们定义双 Slater 数 $s\ell_{\times2}(G)$ 为最小整数 $t$，使得 $t+d_{1}+\cdots+d_{t-e}\geq2n-p$，其中 $e$ 和 $p$ 分别为 $G$ 的末端顶点数和次末端顶点数。我们证明 $\gamma_{\times2}(G)\geq s\ell_{\times2}(G)$，其中 $\gamma_{\times2}(G)$ 是无孤立点图 $G$ 的著名双支配数。我们证明判定给定图是否取等号的这一问题为 NP-完全，即便限制于 $4$-部图时亦然。我们还证明即便对于直径为二的可比图，计算 $\gamma_{\times2}(G)$ 也是 NP-困难的。本文给出了关于这两个参数的一些结果，改进并推广了早期关于图中双支配的一些结论。我们给出了图 $k$-重支配数上的一个上界，并对达到该界的所有图进行了刻画。最后，我们刻画了所有满图族，从而解决了 Cockayne 与 Hedetniemi（1977）一文中提出的一个开放问题。