关于图的笛卡尔积中的全支配

Ho在[A note on the total domination number, Util.Math. 77 (2008) 97--100]中证明，任意两个无孤立顶点的图的笛卡尔积的全支配数至少为其全支配数乘积的一半。我们推广了Lu和Hou在[Total domination in the Cartesian product of a graph and $K_2$ or $C_n$, Util. Math. 83 (2010) 313--322]中的结果，刻画了满足 $\gamma_t(H)=2$ 时 $\gamma_t(G\Box H)=\frac{1}{2}\gamma_t(G) \gamma_t(H)$ 的图对 $G$ 和 $H$。此外，我们给出了一族无穷图 $G_n$，其 $\gamma_t(G_n)=2n$，并在渐近意义上逼近 $\gamma_t(G_n\Box G_n)\ge \frac{1}{2}\gamma_t(G_n)^2$ 中的等式。