关于Vizing猜想的一个注记

令 $\gamma(G)$ 表示图 $G$ 的控制数。设 $G$ 和 $H$ 为图，$G\Box H$ 为它们的笛卡尔积。对于 $h\in V(H)$，定义 $G_h=\{(g,h)\,|\,g\in V(G)\}$，并称该集合为 $G\Box H$ 的一个 $G$-层。我们证明了Vizing猜想的以下特例。设 $D$ 为 $G\Box H$ 的一个控制集。若存在 $G$ 的最小控制集 $D_1$ 和 $D_2$，使得对于每个 $h\in V(H)$，$D\cap G_h$ 到 $G$ 的投影都包含于 $D_1$ 或 $D_2$ 中，则 $|D|\geq \gamma(G)\gamma(H)$。