有向图及其乘积中的控制

有向图 $D$ 的一个控制（分别为，全控制）集 $S$ 是 $D$ 中顶点的一个集合，使得 $S$ 中顶点的闭（分别为，开）外邻域之并等于 $D$ 的顶点集。$D$ 的控制（分别为，全控制）集的最小大小称为 $D$ 的控制（分别为，全控制）数，记为 $\gamma(D)$（分别为 $\gamma_t(D)$）。$D$ 的两两不交的闭（分别为，开）内邻域的最大数目记为 $\rho(D)$（分别为 $\rho^{\rm o}(D)$）。我们证明，在底层图围长至少为 $7$ 的有向图中，闭（分别为，开）内邻域满足 Helly 性质，并利用这两个结果证明：在任何树图（即底层图为树的有向图）$T$ 中，$\gamma_t(T)=\rho^{\rm o}(T)$ 且 $\gamma(T)=\rho(T)$。利用前一等式，我们进而证明 $\gamma_t(G\times T)=\gamma_t(G)\gamma_t(T)$，其中 $G$ 为任意有向图、$T$ 为任意无源点的树图，且 $G\times T$ 为它们的直积。由等式 $\gamma(T)=\rho(T)$ 我们导出界 $\gamma(G\mathbin{\Box} T)\ge\gamma(G)\gamma(T)$，其中 $G$ 为任意有向图、$T$ 为任意树图且 $G\mathbin{\Box} T$ 为它们的笛卡尔积。在一般有向图中此 Vizing 型界不成立，但我们证明对任意有向图 $G$ 与 $H$，若 $\gamma(G)\ge\gamma(H)$，则有 $\gamma(G \mathbin{\Box} H) \ge \frac{1}{2}\gamma(G)(\gamma(H) + 1)$。该不等式是紧的，由一族无穷多例子所证明。同时也研究了满足 $\gamma(T\mathbin{\Box} H)=\gamma(T)\gamma(H)$ 的树图 $T$ 与有向图 $H$。