支配密度与 Vizing 猜想的不平衡机制

我们开发了一个用于研究 Vizing 猜想 $\gamma(G \square H) \ge \gamma(G)\gamma(H)$ 的支配密度框架。通过将该猜想重铸为乘法密度形式，我们推导出了某些图对满足该猜想的二部划分不平衡充分条件。对于二部图 $G$，我们引入了一个构造性的不平衡放大论证：如果 $G$ 的一个最小支配集相对于 $\delta(H)$ 足够集中在二部划分的一侧，那么 $\gamma(G \square H) + \tau_X |V(H)| \ge \gamma(G)\gamma(H)$，其中 $\tau_X$ 明确依赖于局部支配集中度。特别地，只要 $\delta(G) > \delta(H)$，这种集中必然发生。这在相同的支配密度机制内产生了一个显式的加性赤字界。我们进一步证明，减少支配数的叶子删除操作保持 Vizing 不等式。因此，对于满足 $\delta(G) > \delta(H)$ 的二分图，该猜想归结为理解 Vizing 不等式在保持支配数中性的叶子删除操作下的稳定性。