二部图及其补图中的定位控制

图 $G$ 的顶点集 $S$ 若满足不在 $S$ 中的任意一对顶点的在 $S$ 中的邻域集互异，则称其为\emph{可区分的}。$G$ 的\emph{定位控制集}是一个控制且可区分的集合。$G$ 的\emph{定位控制数} $\lambda(G)$ 是定位控制集的最小基数。本文研究二部图的 $\lambda({G})$ 与 $\lambda (\overline{G})$ 之间的关系。主要结果是刻画了所有满足 $\lambda (\overline{G})=\lambda({G})+1$ 的连通二部图 $G$。为此，我们定义了一个与可区分集 $S$ 相关联的边标记图 $G^S$，它非常有用。